PS4コントローラー新しくしたらパスワード変えるべき？

変える必要はありません。

パスワードは、ネットアカウントのセキュリティ強化のために必要なものです。

コントローラーを新しく変えた場合には関係がありません。

パスワードの変更方法

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今のパスワードを入力します。
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［パスワード］を選択します。
↓
新しいパスワードを作成します。
↓
確定
↓
［続行］を選択します。

参考

PSNのパスワードのリセット方法

ユーザーアカウントと「PlayStation Network」のアカウントの違い

ユーザーアカウント：PSを起動したときに最初に選ぶアカウント。2Pで遊ぶときは、1Pとは別のアカウントを選ぶことで遊べる。

「PlayStation Network」のアカウント：オンラインコンテンツを利用するためのアカウント。